2つの角を足すと 90^\circ になるとき、これらの角は互いに”余角”である、といいます。三角関数の公式には、余角に関する公式がいくつかあります:
\sin{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \cos{\theta} \tag{1}
\cos{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \sin{\theta} \tag{2}
\tan{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \frac{1}{\tan{\theta}} \qquad (\tan \theta \ne 0) \tag{3}
これらの公式において、 \frac{\pi}{2} - \theta と \theta の和は \frac{\pi}{2} (90^\circ) ですので、これらの角は互いに余角です。上記の公式は余角に関して成立するので、“余角の公式”と呼ばれます。
この記事では、余角の公式の特徴と使い方を解説します。
1 各公式の特徴
1.1 \sin{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \cos{\theta}
この公式は、“余角のサインはコサインになる”と理解できます。具体的には、\theta の余角である \frac{\pi}{2} - \theta に対してサイン (左辺) を考えると、 \theta に対して考えたコサイン (右辺) と等しくなります。
この公式の主張を視覚的に表すと Figure 1 のようになります。
三角関数は円を使って定義されますが、ここでは簡単に直角三角形を使って考えます。Figure 1 のオレンジの三角形 ABC における各辺の長さは AB = r、BC = x、CA = y です。\angle ABC = \theta とすると、三角形の内角の和は 180^\circ なので、\angle CAB = 90^\circ - \theta = \frac{\pi}{2} - \theta になります。
このオレンジの三角形でサインを考えると、
\sin \theta = \frac{y}{r}
となります。オレンジの三角形ではこのように \theta に注目しましたが、今度は \frac{\pi}{2} - \theta に注目して Figure 1 の紫の三角形を見てみましょう。この三角形は Figure 1 のオレンジの三角形と合同であり、以下のように各頂点が対応します:
\begin{aligned} A &\rightarrow A'\\ B &\rightarrow B'\\ C &\rightarrow C' \end{aligned}
この紫の三角形の \angle C'A'B' に注目してコサインを考えてみると、
\cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{y}{r}
となり、先ほどの \sin \theta と一致します。つまり、
\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)
が成立します。
1.2 \cos{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \sin{\theta}
この公式は Equation 1 と同様に、コサインがサインに変換されることを示しています。Figure 1 を使って、このことを理解してみてください。
1.3 \tan{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \frac{1}{\tan{\theta}}
この公式は、補角に対するタンジェントは、元の角度 \theta に対するタンジェントと逆数の関係にあることを主張しています。これまでと同様に、Figure 1 を使って視覚的に理解できますので、考えてみてください。
2 公式の使い方練習
では、これらの公式を使って問題を解いてみましょう。
Exercise 1 以下の三角関数を、0^\circ より大きく 45^\circ より小さい角度を使って表しましょう。
- \sin 55^\circ
- \cos 78^\circ
- \tan 82^\circ
Solution 1. 公式をそのまま適用すれば解くことができます。
Step 1: 公式の選択
サインを変換したいので、サインを含んだ Equation 1 を選択します:
\sin{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \cos{\theta}
Step 2: \sin 55^\circ の変換
公式を使うため、 \sin 55^\circ を 90^\circ を含んだ形に変換します:
\begin{aligned} \sin 55^\circ &= \sin (90^\circ - 35^\circ). \end{aligned}
90^\circ \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}、90 - 35 = 55 であることを確認してください。
Step 3: 公式の適用
公式を適用します:
\begin{aligned} \sin 55^\circ &= \sin (90^\circ - 35^\circ)\\ &= \cos 35^\circ. \end{aligned}
35^\circ は 0^\circ より大きく 45^\circ よりも小さい角度ですので、答えは \cos 35^\circ となります。
Step 1: 公式の選択
コサインを含んでいるので、 Equation 2 を使いましょう。
\cos{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \sin{\theta}
Step 2: \cos 78^\circ の変換
公式を使うため、 \cos 78^\circ を 90^\circ を含んだ形に変換します:
\begin{aligned} \cos 78^\circ &= \cos (90^\circ - 12^\circ). \end{aligned}
Step 3: 公式の適用
公式を適用します:
\begin{aligned} \cos 78^\circ &= \cos (90^\circ - 12^\circ)\\ &= \sin 12^\circ. \end{aligned}
したがって、答えは \sin 12^\circ です。
Step 1: 公式の選択
タンジェントを含んでいるので、 Equation 3 を使いましょう。
\tan{\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)} = \frac{1}{\tan{\theta}}
Step 2: \tan 82^\circ の変換
これまでと同様、 \tan 82^\circ を 90^\circ を含んだ形に変換します:
\begin{aligned} \tan 82^\circ &= \tan (90^\circ - 8^\circ). \end{aligned}
Step 3: 公式の適用
公式を適用します:
\begin{aligned} \tan 82^\circ &= \tan (90^\circ - 8^\circ)\\ &= \frac{1}{\tan 8}. \end{aligned}
したがって、答えは \tan 8^\circ です。
3 公式を使うときの注意
各公式を使う際は、角度が補角を見つけることが大切です。補角は足して 90^\circ = \frac{\pi}{2} になる角度であり、元の角度が \theta であれば、補角は 90^\circ - \theta です。
値を計算する際には、必ず ^\circ または”ラジアン”に統一しましょう。例えば、\sin 72^\circ = \sin (90^\circ - 18^\circ) ですし、\cos \frac{2\pi}{5} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{10} \right) のように角度の単位はどちらかに統一しましょう。
タンジェントは、 Equation 3 において \theta = 0^\circ のときは公式が成立しない点に注意が必要です。 \theta = 0^\circ のとき、Equation 3 の左辺は
\tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \frac{\pi}{2}
となりますが、そもそも \frac{\pi}{2} は定義されないので、この公式は成立しません。
4 今後の学習のコツ
三角関数は、公式や性質を覚えるだけではなく、図形的に理解することが重要です。以下の学習法を試してみてください。
- 図を描く: 三角関数の公式を視覚化することで、理解を深めましょう。具体的には Figure 1 を描いて公式を導き出せることが重要です。
- 繰り返し練習: 問題を解いて、公式を使いこなす練習をしましょう。最初は公式を見ながらで良いので、どの状況でどの公式が使えるかを学んでいってください。
