この記事では以下の三角関数に関する公式の証明を解説します:
\sin{(-\theta)} = -\sin{\theta} \tag{1}
\cos{(-\theta)} = \cos{\theta} \tag{2}
\tan{(-\theta)} = -\tan{\theta} \tag{3}
これらの公式は - \theta をもった三角関数を、 \theta をもった三角関数に変換することができます。
1 証明のコツ
これらの公式を証明するためのコツは、三角関数の定義を使うことです。定義に従って、Figure 1 のような円を考えてみましょう。正の角度 \theta に対応する点 A(x, y) を置きます。三角関数の定義から、正の角度は x 軸の正の方向から反時計回りに測ります。逆に、負の角度である - \theta は、時計回りに測ることになります。 -theta に対応する円周上の点を A' と置くと、点 A と点 A' は x 軸に関して対称ですから、 A' の座標は (x, -y) です。
今回証明したい公式の左辺は -\theta について考えた三角関数であり、右辺は \theta について考えた三角関数です。後は、三角関数の定義にしたがって、左辺と右辺を変形し、等しいことを確認してみましょう。
2 \sin{(-\theta)} = -\sin{\theta} (Equation 1) の証明
三角関数の定義から、以下の式を得ます:
\begin{aligned} \sin (-\theta) &= \frac{-y}{r} = - \frac{y}{r},\\ \sin \theta &= \frac{y}{r}. \end{aligned}
したがって、
\sin (-\theta) = -\sin \theta
であることがわかり、 Equation 1 が証明できました。
3 \cos{(-\theta)} = \cos{\theta} (Equation 2) の証明
三角関数の定義から、
\begin{aligned} \cos (-\theta) &=\frac{x}{r},\\ \cos \theta &= \frac{x}{r} \end{aligned}
が成立します。したがって、
\cos{(-\theta)} = \cos{\theta}
が証明できました。
4 \tan{(-\theta)} = -\tan{\theta} (Equation 3) の証明
これまでの証明とほぼ同じ手順です。
三角関数の定義から、
\begin{aligned} \tan (-\theta) &= \frac{-y}{x},\\ \tan \theta &= \frac{y}{x}. \end{aligned}
したがって、
\tan{(-\theta)} = - \tan{\theta}
が証明できました。
5 まとめ
この記事では、- \theta に関する三角関数の公式を証明しました。三角関数の定義を使うと、簡単な手順だったと思います。これらの公式については無理に覚える必要はなく、毎回、三角関数の定義で使う円を描いて、導くことができます。公式を丸暗記するよりも、この導出の手順に慣れておくことをお勧めします。
なお、これらの公式は、-\theta を使って表された三角関数を、\theta を使った三角関数に変換できる点が特徴です。負の符号がついた角度を見かけたら、これらの公式の利用を検討してみましょう。