三角関数の定義

三角関数の定義について解説しています。この定義は三角関数全体の基本ですので、しっかりと理解しておく必要があります。また定義を理解しておくと、\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) など、三角関数の代表的な値について、覚えておく必要がなくなります。

1 三角関数の定義

三角関数には主にサイン（sin）、コサイン（cos）、タンジェント（tan）の3つがあります。これらはそもそもは直角三角形における辺の比率です。しかし直角三角形という前提があると角の大きさとして鋭角（0^\circ から 90^\circ）の場合しか扱えません。したがってより一般的な角度を扱うために、三角関数は円を使って定義されます (Figure 1)。

Figure 1 では以下のステップで円や点を作成しています。

1. 中心が原点 O 、半径が r の円を描きます。
2. この円周上に適当に点 A を加えます。この点 A の座標を (x, y) とします。
3. 点 A と円の中心を端点とする線分 OA を描きます。
4. x 軸と線分 OA の間の角を \theta とします。このとき \theta は、x 軸の正の方向から反時計回りに測った角です。

この r、x、y、\theta を組み合わせて三角関数を定義します：

この定義では \theta を x 軸の正の方向から反時計回りに測るので、 \theta は 120^\circ や 360^\circ、それよりも大きい角度をもつことができます。また、逆に x 軸の正の方向から時計回りに角度を測ることもできます。反時計回りの場合を正の角度、時計回りの場合は負の角度と決めておきましょう。Figure 2 では、正の値を持つ角度 \theta は x 軸と線分 OA で決まり、負の値を持つ角度 -\theta は、 x 軸と線分 OA' で決まります。

2 x, y, \theta の関係

Definition 1 において、x, y, \theta の間には以下の式が成立します:

r^2 = x^2 + y^2 \Leftrightarrow r = \sqrt{x^2 + y^2}.

Figure 1 中の、オレンジの直角三角形について、三平方の定理を考えると、簡単に導けます。r > 0 ですから、r = \sqrt{x^2 + y^2} となることもわかります。

また、Definition 1 において、\sin \theta = \frac{y}{r} の両辺に r を掛けると、y = r \sin \theta が得られます。同様に \cos \theta = \frac{x}{r} ですので、 x = r \cos \theta となります:

\begin{aligned} x &= r \cos \theta,\\ y &= r \sin \theta. \end{aligned}

この式から、x 座標、 y 座標を、 r と \theta を使って表せることがわかります。極座標ではこのような見方が重要になってきます。

3 単位円を使った、三角関数の定義

Definition 1 では半径 r の円を用いました。テキストによっては、半径 r の代わりに、単位円を使うこともあります (単位円は、半径が 1 である円のことです)。実は三角関数の値は、円の半径に依存しないので、 Definition 1 のように任意の半径でも、半径 1 でも問題ありません。

4 定義を使った、三角関数の代表的な値の求め方

通常、三角関数の値を求める際は計算機が必要になりますが、角度によっては Definition 1 を使って簡単に三角関数の値を求めることができます。例えば、\theta = 0 の場合を考えてみましょう。

\theta = 0 のとき

Figure 3 (a) では半径 r の円を考えています。このとき、 \theta = 0 に対応する円周上の点は A(r, 0) となります。この座標と半径を、Definition 1 に代入して、三角関数の値を求めることができます。

\begin{aligned} \sin 0 &= \frac{y}{r} = \frac{0}{r} = 0, \\ \cos 0 &= \frac{x}{r} = \frac{r}{r} = 1, \\ \tan 0 &= \frac{0}{r} = 0. \end{aligned}

定義を使って、簡単に値を求めることができました。

\theta = \frac{\pi}{3} のとき

\theta = \frac{\pi}{3} のときも、三角関数の値を求めてみましょう。\theta = \frac{\pi}{3} のとき、 Figure 3 (b) の状況になります。 \frac{\pi}{3} = 60^\circ ですから、辺の比が 1 : 2: \sqrt{3} の直角三角形を考えることができます。

ここで、Section 3 においてお話ししたように、三角関数の値は半径に依存しません。言い換えると、任意の半径の円に対して三角関数を考えてよいことになります。今回は半径 r = 2 とすることで、\theta = \frac{\pi}{3} に対応する点 A の座標が (1, \sqrt{3}) であることがわかります。

したがって、以下のように三角関数の値を計算することができます:

\begin{aligned} \sin \frac{\pi}{3} &= \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos \frac{\pi}{3} &= \frac{x}{r} = \frac{1}{2}, \\ \tan \frac{\pi}{3} &= \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}. \end{aligned}

今回は円の半径として 2 を使いましたが、 \frac{\pi}{4} などの場合は、直角二等辺三角形を考え、 \sqrt{2} を使うと良いでしょう。